Banach Fixed Point Theorem

定义 Definition

巴拿赫不动点定理（也常称为压缩映射定理）：在一个完备度量空间中，任何压缩映射（contraction）都存在且仅存在一个不动点，并且从任意初始点反复迭代该映射，都会收敛到这个不动点。该定理常用于证明解的存在唯一性与迭代法收敛。（在更广泛语境里，“不动点定理”还有其他版本，如 Brouwer、Schauder 等。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈbɑːnɑːx fɪkst pɔɪnt ˈθiːərəm/

例句 Examples

The Banach fixed point theorem guarantees a unique fixed point for a contraction.
巴拿赫不动点定理保证压缩映射有唯一的不动点。

Using the Banach fixed point theorem, we can prove that the differential equation has a unique solution on a small interval and that Picard iteration converges to it.
利用巴拿赫不动点定理，我们可以证明该微分方程在一个较小区间上解的唯一性，并证明皮卡迭代会收敛到该解。

词源与背景 Etymology

该定理以波兰数学家Stefan Banach（斯特凡·巴拿赫）命名，是泛函分析与度量空间理论中的基础结果之一。“fixed point（不动点）”指满足 (f(x)=x) 的点；“contraction（压缩映射）”体现为距离被统一比例缩小，从而带来收敛与唯一性。

相关词 Related Words

• Contraction Mapping
• Fixed Point
• Metric Space
• Complete
• Cauchy Sequence
• Picard Iteration
• Existence And Uniqueness
• Brouwer Fixed Point Theorem
• Schauder Fixed Point Theorem

文献中的出现 Notable Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在完备度量空间与压缩映射相关内容中常提及或作为练习/推论出现
• Introductory Functional Analysis with Applications（Erwin Kreyszig）——以压缩映射定理形式系统讲解并用于应用
• A Course in Functional Analysis（John B. Conway）——在泛函分析基础章节中作为核心工具出现
• Ordinary Differential Equations（Philip Hartman）及相关常微分方程教材——用于 Picard–Lindelöf 定理（存在唯一性与迭代收敛）的证明框架中